Τι μας διδάσκουν τα «Μαθηματικά της Πανδημίας»

Τους «αριθμούς» της πανδημίας ανέλυσαν σε διαδικτυακή επιστημονική συνάντηση που πραγματοποιήθηκε τον Δεκέμβριο του 2020 καθηγητές πανεπιστημίων από τη χώρα μας και το εξωτερικό, σε διοργάνωση του Τμήματος Στατιστικής του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών. Η εκδήλωση έγινε με τη συμμετοχή μεγάλου πλήθους «επισκεπτών» από την Ελλάδα, την Ευρώπη και τη Βόρεια Αμερική.

Οι πέντε ομιλίες που δόθηκαν διέπονταν από έντονη διεπιστημονικότητα, καλύπτοντας ένα ευρύ φάσμα σύγχρονων μαθηματικών και στατιστικών εργαλείων τα οποία χρησιμοποιούν οι ανά τον κόσμο επιτροπές αντιμετώπισης της νέας υγειονομικής κρίσης.

Η πρώτη ομιλία, από τον κ. Κίμωνα Δρακόπουλο (Πανεπιστήμιο Νότιας Καλιφόρνιας), παρουσίασε την επιστημονική βάση της στόχευσης των τεστ που έγιναν το περασμένο καλοκαίρι στα σημεία εισόδου ταξιδιωτών στην Ελλάδα. Η προσέγγιση έκανε χρήση σύγχρονων εργαλείων από τη στατιστική και την επιστήμη των δεδομένων, όπως shrinkage, multi-arm bandits και LASSO, για τη βέλτιστη κατανομή των διαθέσιμων τεστ.

Συγκεκριμένα, η στόχευση των τεστ επικεντρώθηκε στις αφίξεις από χώρες με αυξημένο ποσοστό θετικότητας. Όμως, καθώς στην πραγματικότητα αυτό το ποσοστό είναι άγνωστο, έγινε μια προσπάθεια να εκτιμηθεί από τα δεδομένα, επιχειρώντας ταυτόχρονα μία επικέντρωση α) στη στόχευση σε υψηλής θετικότητας προέλευση και β) στην κατανόηση της θετικότητας άλλων χωρών, ψάχνοντας μια βέλτιστη ισορροπία ανάμεσα στους δύο στόχους. Αυτή η προσέγγιση συνήθως αποκαλείται exploration-exploitation trade-off. Αντίστοιχες τεχνικές βρίσκουν εφαρμογές στους σύγχρονους ευπροσάρμοστους (adaptive) σχεδιασμούς κλινικών δοκιμών, σε μια προσπάθεια αφενός να λαμβάνουν οι ασθενείς τις πιο αποτελεσματικές θεραπείες, αφετέρου να εκτιμηθεί η αποτελεσματικότητα όλων των θεραπειών με τον μικρότερο δυνατό αριθμό ασθενών.

Το θέμα της εκτίμησης της θετικότητας για κάθε χώρα προέλευσης περιπλέκεται περαιτέρω από το γεγονός ότι είναι στατιστικά δύσκολο να εκτιμηθούν μικρά ποσοστά με σχετικά μικρό αριθμό δεδομένων. Προς αυτή την κατεύθυνση υιοθετήθηκε μια σύγχρονη προσέγγιση της στατιστικής κατά Bayes, υποθέτοντας exchangeability (δυνητική εξάρτηση) ανάμεσα στις χώρες προέλευσης και επιτρέποντας τη συρρίκνωση (shrinkage) των επιμέρους εκτιμητών, επιτυγχάνοντας έτσι τη μείωση του συνολικού σφάλματος εκτίμησης μέσω της βέλτιστης ισορροπίας ανάμεσα σε μεροληψία και αβεβαιότητα εκτίμησης (optimal bias-variance trade-off). Μια αποτίμηση αυτής της προσέγγισης, σε σχέση με το αντιγεγονικό (counterfactual) ενδεχόμενο του τι θα γινόταν αν τα διαθέσιμα τεστ διεξάγονταν με τυχαία επιλογή επιβατών, δείχνει πως η στοχευμένη διάθεση στα επιμέρους σημεία εισόδου φαίνεται να διπλασίασε ή να τριπλασίασε την αποτελεσματικότητα της ανίχνευσης πιθανών κρουσμάτων.

Ο δεύτερος ομιλητής, κ. Γιάννης Κοντογιάννης (Πανεπιστήμιο του Κέιμπριτζ – Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών), εξέτασε την επιρροή μιας πολιτικής μαζικού αριθμού διαγνωστικών τεστ και τη δυνητική επίδραση μιας τέτοιας προσέγγισης στη μείωση της κυκλοφορίας του ιού. Κατόπιν ανασκόπησης των επιμέρους ευεργετικών συνεπειών ενός μαζικού αριθμού από τεστ, παρουσιάστηκαν δύο στοχαστικά επιδημικά μοντέλα τα οποία ενσωματώνουν την επίδραση τέτοιων πολιτικών. Το δεύτερο μοντέλο περιλαμβάνει ανομοιογένεια στον αριθμό των επαφών ανάμεσα στα άτομα του πληθυσμού μέσω ενός συγκεκριμένου και δημοφιλούς τύπου δικτύου. Η πιθανοθεωρητική ανάλυση των αναπτυχθέντων μοντέλων παρέχει αναλυτικά αποτελέσματα για τον απαιτούμενο αριθμό διαγνωστικών τεστ ώστε να τεθεί η επιδημία υπό έλεγχο. Εξετάστηκαν διαφορετικά σενάρια για την παράμετρο R₀, η οποία ποσοτικοποιεί το πόσο λοιμώδης μπορεί να είναι η υπό μελέτη νόσος, και παρουσιάστηκε η –γενικά μη γραμμική– σχέση του απαιτούμενου αριθμού διαγνωστικών τεστ ως συνάρτηση του R₀.

Οι δύο αυτές ομιλίες ανέδειξαν με ξεκάθαρο τρόπο, μέσω της χρήσης σύγχρονων τεχνικών της στατιστικής, των πιθανοτήτων και της επιστήμης των δεδομένων, τη σημασία του αριθμού των διαθέσιμων τεστ, αλλά και του τρόπου διάθεσής τους ως θεμελιωδών εργαλείων στον περιορισμό και στον έλεγχο της επιδημίας.

Τρίτος ομιλητής ήταν ο κ. Θεόδωρος Λύτρας (Ευρωπαϊκό Πανεπιστήμιο Κύπρου), ο οποίος εξήγησε τη σημασία του αριθμού αναπαραγωγής R_t του κορωνοϊού για τον έλεγχο της επιδημίας και παρουσίασε τις βασικές τεχνικές στατιστικής εκτίμησης αυτής της θεμελιώδους παραμέτρου από τον ημερήσιο αριθμό κρουσμάτων. Έδειξε αναλυτικά το πακέτο της στατιστικής γλώσσας R το οποίο ανέπτυξε όταν εργαζόταν στον ΕΟΔΥ με σκοπό την καθημερινή εκτίμηση του R_t με ακρίβεια και κατάλληλη ποσοτικοποίηση της αβεβαιότητας. Ιδιαίτερη προσοχή δόθηκε στις ατέλειες των καταγεγραμμένων δεδομένων, στην ανάγκη για προσεκτική ενσωμάτωση της επίδρασης των εξωτερικών κρουσμάτων και στον φυσικό τρόπο με τον οποίον η στατιστική κατά Bayes ενσωματώνει την αβεβαιότητα που προκύπτει από τις διορθώσεις που απαιτούνται για την εκτίμηση του R_t σε πραγματικό χρόνο. Επιπλέον, παρουσιάστηκαν εναλλακτικές πρόσφατες τεχνικές εκτίμησης του R_t και παρουσιάστηκαν εφαρμογές τους στα ελληνικά δεδομένα.

Η τέταρτη ομιλία, από τον κ. Νίκο Δεμίρη (Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών), αφορούσε ένα πλαίσιο για την ενσωμάτωση διαφορετικών πηγών πληροφορίας και την εκτίμηση της συνολικής επίπτωσης του ιού μέσω ενός ιεραρχικού επιδημικού μοντέλου. Αυτή η πληροφορία συμπεριλαμβάνει, μεταξύ άλλων στοιχείων, ελεύθερα διαθέσιμα δεδομένα για καταγεγραμμένα κρούσματα και θανάτους, αλλά και δεδομένα των Google/Apple αναφορικά με την κινητικότητα. Τα αποτελέσματα περιλαμβάνουν εκτιμήσεις για τα μη καταγεγραμμένα κρούσματα και άλλα συναφή μέτρα της κυκλοφορίας του ιού, και ελέγχθηκαν ως προς την ακρίβειά τους με βάση ανεξάρτητες μελέτες αντισωμάτων.

Η πέμπτη ομιλία, από την κυρία Βάνα Σύψα (Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών), επικεντρώθηκε σε μία ενδελεχή αποτίμηση της αποτελεσματικότητας των μέτρων κοινωνικής αποστασιοποίησης και άλλων παρεμβάσεων στην Ελλάδα. Η ανάλυση αυτή δημοσιεύτηκε πρόσφατα στο επιστημονικό περιοδικό «Emerging Infectious Diseases» (https://doi.org/10.3201/eid2702.203412) και στηρίχθηκε σε ένα κατάλληλα τροποποιημένο αιτιοκρατικό επιδημικό πρότυπο, το οποίο ενσωματώνει διάφορες πηγές πληροφορίας, μεταξύ των οποίων και δεδομένα από μία έρευνα κοινωνικών επαφών ανάμεσα σε διαφορετικές ηλικιακές ομάδες. Στα αποτελέσματα αποτυπώνεται η επίδραση των μη φαρμακευτικών παρεμβάσεων στον R_t, που στο συγκεκριμένο μοντέλο ορίζεται ως η μέγιστη ιδιοτιμή ενός κατάλληλου πίνακα (next-generation matrix). Επιπλέον, δίνεται μια εκτίμηση για την έκταση της μείωσης της κυκλοφορίας του ιού ως αποτέλεσμα των επιμέρους συνδυαστικών μέτρων.

Την ημερίδα παρακολούθησαν περισσότεροι από 600 μοναδικοί χρήστες. Λόγω και της διεπιστημονικότητας των εισηγήσεων, υπήρχε μεγάλος αριθμός και ευρεία θεματολογία ερωτήσεων, με αποτέλεσμα την ενδιαφέρουσα σχετική συζήτηση για τα πορίσματα των επιμέρους ερευνών. Από τα σχόλια των συμμετεχόντων διαπιστώθηκε πως το κοινό εκτέθηκε σε μία εμπεριστατωμένη εικόνα των σύγχρονων επιστημονικών τεχνικών που βοηθούν στην αποτίμηση και στην αντιμετώπιση της πανδημίας.

Στη διεύθυνση https://youtu.be/rPX0oH3V9lE βρίσκονται ελεύθερα προσβάσιμες οι ομιλίες, με τις πρώτες δύο να αφορούν την επίδραση των τεστ στον έλεγχο της κυκλοφορίας της νόσου και τις επόμενες τρεις να εκτιμούν την επίπτωση της επιδημίας στη χώρα.

Βάνα Σύψα,
ΑναπληρώτριαΑναπληρώτρια Καθηγήτρια, ΕΚΠΑ
Αξιολόγηση της αποτελεσματικότητας των μέτρων κοινωνικής αποστασιοποίησης στην Ελλάδα με δεδομένα κοινωνικών επαφών.

Θεόδωρος Λύτρας,
Επίκουρος Καθηγητής, Ευρωπαϊκό Πανεπιστήμιο Κύπρου
Εκτίμηση στιγμιαίου πραγματικού αναπαραγωγικού ρυθμού Rt της πανδημίας COVID-19 στην Ελλάδα.

Γιάννης Κοντογιάννης,
Καθηγητής, University of Cambridge
Effective Mass-Testing Rates with SIR Epidemic Models on Random Networks.

Κίμων Δρακόπουλος,
Επίκουρος Καθηγητής, University of Southern California
Deploying a Data-Driven COVID-19 Screening Policy at the Greek Border.

Νίκος Δεμίρης,
Επίκουρος Καθηγητής, ΟΠΑ
Evidence Synthesis for Assessing SARS-CoV-2 Transmission.